OffresSe connecter
Prépa, 1re année › Nombres complexes › Linéariser cos^p x sin^q x

Linéariser cos^p x sin^q x : méthode (MPSI)

Méthode

Linéariser cos^p x sin^q x

Linéariser, c'est écrire $\cos^p x\sin^q x$ comme combinaison linéaire de $\cos(kx)$ et $\sin(kx)$ (utile pour intégrer).

  1. Remplacer $\cos x$ et $\sin x$ par les formules d'Euler.
  2. Développer avec le binôme de Newton (sans oublier les facteurs $\dfrac{1}{2^p}$ et $\dfrac{1}{(2i)^q}$).
  3. Regrouper les termes conjugués $e^{ikx}$ et $e^{-ikx}$, puis réutiliser Euler dans l'autre sens : $e^{ikx}+e^{-ikx}=2\cos(kx)$ et $e^{ikx}-e^{-ikx}=2i\sin(kx)$.
Exemple

Linéarisation de cos³x

$$\cos^3x=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^3=\frac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}{8}=\frac{2\cos(3x)+6\cos x}{8}.$$ Donc $\cos^3x=\dfrac{\cos(3x)+3\cos x}{4}$. Contrôle en $x=0$ : $1=\dfrac{1+3}{4}$. Conséquence : $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3x\,\mathrm{d}x=\left[\frac{\sin 3x}{12}+\frac{3\sin x}{4}\right]_0^{\pi/2}=-\frac{1}{12}+\frac34=\frac23.$

S’entraîner

Dans le cours

Nombres complexes : Linéariser cos^p x sin^q x