Prépa, 1re année › Nombres complexes › Exprimer cos(nx) ou sin(nx) en fonction de cos x et sin x
Exprimer cos(nx) ou sin(nx) en fonction de cos x et sin x : méthode (MPSI)
Méthode
Exprimer cos(nx) ou sin(nx) en fonction de cos x et sin x
C'est l'opération inverse de la linéarisation.
- Écrire $\cos(nx)=\mathrm{Re}\big((\cos x+i\sin x)^n\big)$ et $\sin(nx)=\mathrm{Im}\big((\cos x+i\sin x)^n\big)$ (Moivre).
- Développer avec le binôme.
- Garder les termes réels (puissances paires de $i\sin x$) ou imaginaires, et utiliser $\sin^2x=1-\cos^2x$ si l'on veut un polynôme en $\cos x$.
Exemple
cos(3x) en fonction de cos x
Avec $c=\cos x$ et $s=\sin x$ : $(c+is)^3=c^3+3ic^2s-3cs^2-is^3$. Donc $$\cos(3x)=c^3-3cs^2=c^3-3c(1-c^2)=4\cos^3x-3\cos x,\qquad \sin(3x)=3c^2s-s^3=3\sin x-4\sin^3x.$$
S’entraîner
- Forme trigonométrique et valeurs de cos(π/12)
- Deux linéarisations et une intégrale
- Équations du second degré à coefficients complexes
- Sommes trigonométriques avec coefficients binomiaux
- Valeur exacte de cos(2π/5) par les racines cinquièmes de l'unité
Dans le cours
Nombres complexes : Exprimer cos(nx) ou sin(nx) en fonction de cos x et sin x