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Prépa, 1re année › Nombres complexes › U est un sous-groupe de C*

U est un sous-groupe de C* : énoncé (MPSI)

Propriété

U est un sous-groupe de C*

$\mathbb{U}$ est un sous-groupe du groupe multiplicatif $(\mathbb{C}^*,\times)$.

Démonstration : U est un sous-groupe de C*
Démonstration

Preuve

  • $\mathbb{U}\subset\mathbb{C}^*$ car $0\notin\mathbb{U}$, et $1\in\mathbb{U}$.
  • Si $z,z'\in\mathbb{U}$ : $|zz'|=|z||z'|=1$, donc $zz'\in\mathbb{U}$.
  • Si $z\in\mathbb{U}$ : $\left|\dfrac1z\right|=\dfrac{1}{|z|}=1$, donc $\dfrac1z\in\mathbb{U}$.

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Dans le cours

Nombres complexes : U est un sous-groupe de C*