Formules d'Euler et de Moivre : énoncé (MPSI)
Formules d'Euler et de Moivre
Pour tout $\theta\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb{Z}$ : $$\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\qquad\text{(Euler)}$$ $$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta),\ \text{c'est-à-dire}\ \left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}\qquad\text{(Moivre)}$$
Démonstration : Formules d'Euler et de Moivre
Preuve
Euler. $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ et $e^{-i\theta}=\overline{e^{i\theta}}$. On applique $\mathrm{Re}(z)=\dfrac{z+\overline z}{2}$ et $\mathrm{Im}(z)=\dfrac{z-\overline z}{2i}$ à $z=e^{i\theta}$.
Moivre. Pour $n\in\mathbb{N}$, par récurrence : $(e^{i\theta})^0=1=e^{i0}$, et si $(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$, alors $(e^{i\theta})^{n+1}=e^{in\theta}e^{i\theta}=e^{i(n+1)\theta}$. Pour $n=-m$ avec $m\in\mathbb{N}$ : $(e^{i\theta})^{-m}=\dfrac{1}{e^{im\theta}}=e^{-im\theta}=e^{in\theta}$.
S’entraîner
- Forme trigonométrique et valeurs de cos(π/12)
- Deux linéarisations et une intégrale
- Valeur exacte de cos(2π/5) par les racines cinquièmes de l'unité