Propriétés du module : énoncé (Maths expertes)
Propriétés du module
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ :
- $|z|=0\iff z=0$ ;
- $z\overline{z}=|z|^2$ ;
- $|\overline{z}|=|z|$ et $|-z|=|z|$ ;
- $|zz'|=|z|\,|z'|$ et $|z^n|=|z|^n$ ;
- si $z\neq 0$ : $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$ et $\left|\dfrac{z'}{z}\right|=\dfrac{|z'|}{|z|}$ ;
- si $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $AB=|z_B-z_A|$.
Démonstration : Propriétés du module
Module d'un produit et d'un quotient
Pour $z=a+ib$ : $z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2-i^2b^2=a^2+b^2=|z|^2$.
Avec le conjugué d'un produit : $$|zz'|^2=zz'\,\overline{zz'}=z\overline{z}\,z'\overline{z'}=|z|^2|z'|^2.$$ Les réels $|zz'|$ et $|z|\,|z'|$ sont positifs et ont le même carré, donc ils sont égaux.
Si $z\neq 0$ : $|z|\times\left|\dfrac{1}{z}\right|=\left|z\times\dfrac{1}{z}\right|=1$, donc $\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|}$. La formule du quotient s'en déduit, et celle de la puissance s'obtient par récurrence.
Calculer un module sans forme algébrique
$$\left|\frac{3+4i}{1-i}\right|=\frac{|3+4i|}{|1-i|}=\frac{\sqrt{9+16}}{\sqrt{1+1}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$
$$\left|(1+i)^{6}\right|=|1+i|^6=\left(\sqrt{2}\right)^6=8.$$
Les propriétés du module évitent de développer.
S’entraîner
- Formes exponentielles et puissances
- Ensembles de points
- Angle moitié et somme de cosinus
- Valeur exacte de cos(2π/5)
- Nombres de module 1 et imaginaires purs