On pose $\omega=e^{2i\pi/5}$, $S=\omega+\omega^4$ et $T=\omega^2+\omega^3$.
- Montrer que $1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=0$.
- Exprimer $S$ et $T$ à l'aide de cosinus.
- Calculer $S+T$ et $ST$.
- En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac{2\pi}{5}$, $\cos\frac{4\pi}5$ et $\cos\frac{\pi}{5}$.
Somme géométrique de raison $\omega\neq1$.
Comme $\omega^5=1$ et $|\omega|=1$, on a $\omega^4=\frac1\omega=\overline\omega$.
Développer $ST$ et réduire les exposants modulo 5.
$S$ et $T$ sont racines d'une équation du second degré ; le signe de $\cos\frac{2\pi}5$ permet de les distinguer.
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$\omega\neq1$ car $\frac{2\pi}{5}\notin2\pi\mathbb{Z}$. Donc $1+\omega+\dots+\omega^4=\dfrac{1-\omega^5}{1-\omega}=0$ puisque $\omega^5=e^{2i\pi}=1$.
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Comme $|\omega|=1$ et $\omega^5=1$ : $\omega^4=\omega^{-1}=\overline\omega$ et $\omega^3=\omega^{-2}=\overline{\omega^2}$. Donc $S=\omega+\overline\omega=2\,\mathrm{Re}(\omega)=2\cos\frac{2\pi}5$ et $T=\omega^2+\overline{\omega^2}=2\cos\frac{4\pi}{5}$.
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D'après 1, $S+T=\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=-1$. Puis $$ST=\omega^3+\omega^4+\omega^6+\omega^7=\omega^3+\omega^4+\omega+\omega^2=-1,$$ car $\omega^6=\omega$ et $\omega^7=\omega^2$.
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$S$ et $T$ ont pour somme $-1$ et pour produit $-1$ : ce sont les racines de $X^2+X-1=0$, dont le discriminant vaut $5$. Ces racines sont $\frac{-1+\sqrt5}{2}>0$ et $\frac{-1-\sqrt5}{2}<0$. Or $\frac{2\pi}{5}\in\left]0,\frac\pi2\right[$, donc $S=2\cos\frac{2\pi}5>0$. Ainsi $S=\frac{\sqrt5-1}{2}$ et $T=-\frac{1+\sqrt5}{2}$, d'où $$\cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5-1}{4},\qquad\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1+\sqrt5}{4}.$$ Enfin $\frac\pi5=\pi-\frac{4\pi}5$, donc $\cos\frac\pi5=-\cos\frac{4\pi}5=\frac{1+\sqrt5}{4}$. Contrôle numérique : $\frac{\sqrt5-1}4\approx0{,}309$, valeur de $\cos72^\circ$.
$\cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5-1}4$ ; $\cos\frac{4\pi}5=-\frac{1+\sqrt5}4$ ; $\cos\frac\pi5=\frac{1+\sqrt5}4$