On considère la partie $$A = \left\{ \frac{mn}{m^2 + n^2} \;\middle|\; (m, n) \in (\mathbb{N}^*)^2 \right\}.$$
- Montrer que $A \subset \left]0, \dfrac12\right]$ et que $A$ admet un plus grand élément, que l'on déterminera.
- a) Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\dfrac{n}{1 + n^2} < \dfrac1n$. b) En déduire $\inf A$. La partie $A$ admet-elle un plus petit élément ?
- Montrer que $A \subset \mathbb{Q}$. Calculer les éléments de $A$ obtenus pour $(m, n) = (1, 2)$ et $(m, n) = (1, 3)$.
- On veut montrer que $\dfrac13 \notin A$. On suppose par l'absurde qu'il existe $(m, n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ tel que $m^2 + n^2 = 3mn$, et on choisit un tel couple avec $m + n$ minimal. a) Montrer que $m$ et $n$ ne sont pas tous les deux pairs. b) Conclure en étudiant la parité de $m^2 + n^2$ et de $3mn$.
- Montrer que $A$ n'est pas un intervalle, de deux façons : avec la question 4, puis avec la densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
Pour 1, appliquer $mn \le \frac{m^2 + n^2}{2}$ et étudier le cas d'égalité.
Pour 2 b), fixer $m = 1$ et utiliser la propriété d'Archimède.
Pour 4 a), remarquer que si $(m, n)$ est solution, $(\frac m2, \frac n2)$ l'est aussi lorsque $m$ et $n$ sont pairs.
Pour 5, comparer $\frac13$ aux deux valeurs calculées à la question 3.
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Pour $(m, n) \in (\mathbb{N}^*)^2$, on a $mn > 0$ et $m^2 + n^2 > 0$, donc $\dfrac{mn}{m^2+n^2} > 0$. Par ailleurs $(m - n)^2 \ge 0$ donne $2mn \le m^2 + n^2$, donc $\dfrac{mn}{m^2 + n^2} \le \dfrac12$. Ainsi $A \subset \left]0, \frac12\right]$. Pour $m = n = 1$, on obtient $\frac12 \in A$. Donc $\max A = \dfrac12$ (et $\sup A = \frac12$).
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a) Pour $n \ge 1$ : $n^2 < 1 + n^2$, donc en divisant par $n(1 + n^2) > 0$, $\dfrac{n}{1 + n^2} < \dfrac1n$.
b) $0$ minore $A$ d'après la question 1. Soit $\varepsilon > 0$. Par la propriété d'Archimède, il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $n > \frac1\varepsilon$. L'élément $a = \dfrac{1 \cdot n}{1 + n^2}$ de $A$ (obtenu pour $m = 1$) vérifie $a < \dfrac1n < \varepsilon$. Par la caractérisation de la borne inférieure, $\inf A = 0$. Comme $0 \notin A$ (tous les éléments sont strictement positifs), $A$ n'a pas de plus petit élément.
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Chaque élément est un quotient de deux entiers, le dénominateur étant non nul : $A \subset \mathbb{Q}$. Pour $(1, 2)$ : $\dfrac{2}{1 + 4} = \dfrac25$. Pour $(1, 3)$ : $\dfrac{3}{1 + 9} = \dfrac{3}{10}$.
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Si $\frac13 \in A$, il existe $(m, n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ avec $3mn = m^2 + n^2$. L'ensemble des valeurs $m + n$ prises par ces couples est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : elle admet un plus petit élément, ce qui justifie le choix d'un couple avec $m + n$ minimal.
a) Si $m = 2m'$ et $n = 2n'$ avec $m', n' \in \mathbb{N}^*$, l'égalité devient $4(m'^2 + n'^2) = 12m'n'$, soit $m'^2 + n'^2 = 3m'n'$. Le couple $(m', n')$ est solution avec $m' + n' = \frac{m + n}{2} < m + n$, ce qui contredit la minimalité. Donc $m$ et $n$ ne sont pas tous deux pairs.
b) Le carré d'un entier a la même parité que cet entier.
- Si $m$ et $n$ sont impairs : $m^2 + n^2$ est pair (somme de deux impairs) et $3mn$ est impair. Impossible.
- Si l'un est pair et l'autre impair : $m^2 + n^2$ est impair et $3mn$ est pair. Impossible.
Dans tous les cas on aboutit à une contradiction : $\dfrac13 \notin A$.
- Première méthode : $\dfrac{3}{10} \in A$ et $\dfrac25 \in A$, et $\dfrac{3}{10} < \dfrac13 < \dfrac25$ (car $9 < 10$ et $5 < 6$ après réduction au même dénominateur : $\frac{9}{30} < \frac{10}{30} < \frac{12}{30}$). Comme $\frac13 \notin A$, $A$ n'est pas un intervalle.
Seconde méthode : par densité de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, l'intervalle $\left]\frac{3}{10}, \frac25\right[$ contient un irrationnel $y$. Comme $A \subset \mathbb{Q}$, $y \notin A$, alors que $\frac{3}{10}$ et $\frac25$ sont dans $A$. Donc $A$ n'est pas un intervalle.
$\max A = \frac{1}{2}$ ; $\inf A = 0$ non atteint ; $\frac{1}{3} \notin A$ ; $A$ n'est pas un intervalle