Montrer que les séries suivantes convergent et calculer leur somme.
- $\sum_{n\ge1}\frac{1}{n(n+2)}$
- $\sum_{n\ge2}\ln\left(1-\frac{1}{n^2}\right)$
Chercher $a,b$ tels que $\frac1{n(n+2)}=\frac an+\frac b{n+2}$.
Le décalage d'indice est de $2$ : il reste deux termes au début et deux à la fin de la somme partielle.
Pour 2, factoriser $1-\frac1{n^2}$ et introduire $b_k=\ln\frac{k}{k+1}$.
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Pour $n\ge1$, $\frac1n-\frac1{n+2}=\frac{(n+2)-n}{n(n+2)}=\frac{2}{n(n+2)}$, donc $\frac1{n(n+2)}=\frac12\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$. Pour $N\ge1$, en décalant l'indice dans la seconde somme : $$\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)}=\frac12\left(\sum_{n=1}^{N}\frac1n-\sum_{n=3}^{N+2}\frac1n\right)=\frac12\left(1+\frac12-\frac1{N+1}-\frac1{N+2}\right).$$ Le membre de droite tend vers $\frac12\cdot\frac32=\frac34$. La série converge et $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n(n+2)}=\frac34.$$
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Pour $n\ge2$, $1-\frac1{n^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{n^2}>0$, donc le terme est défini et $$\ln\left(1-\frac1{n^2}\right)=\big(\ln(n-1)-\ln n\big)-\big(\ln n-\ln(n+1)\big)=b_{n-1}-b_n,$$ où $b_k=\ln k-\ln(k+1)=\ln\frac{k}{k+1}$. Pour $N\ge2$, par télescopage : $$\sum_{n=2}^{N}\ln\left(1-\frac1{n^2}\right)=b_1-b_N=\ln\frac12-\ln\frac{N}{N+1}.$$ Comme $\frac N{N+1}\to1$, $\ln\frac N{N+1}\to0$. La série converge et $$\sum_{n=2}^{+\infty}\ln\left(1-\frac1{n^2}\right)=-\ln2.$$
$\frac34$ ; $-\ln 2$