Soit $x\in\left]0,\pi\right[$. Pour $n\in\mathbb{N}^*$, on pose $P_n=\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{x}{2^k}\right)$.
- Soit $a\in\mathbb{R}$ tel que $\sin a\neq0$. Montrer que $\cos a=\dfrac{\sin(2a)}{2\sin a}$.
- Justifier que pour tout $k\in\mathbb{N}$, $\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)>0$, et que $P_n>0$.
- Montrer que $P_n=\dfrac{\sin x}{2^n\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)}$.
- En déduire $\sum_{k=1}^{n}\ln\cos\left(\frac{x}{2^k}\right)$ en fonction de $n$ et $x$.
- Déterminer la limite de $P_n$ quand $n\to+\infty$.
- Application : déterminer la limite de $\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{\pi}{2^{k+1}}\right)$ quand $n\to+\infty$.
Utiliser la formule de duplication $\sin(2a)=2\sin a\cos a$.
Pour la question 3, poser $a_k=\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)$ et écrire chaque facteur sous la forme $\frac{a_{k-1}}{2a_k}$.
Pour la question 5, écrire $2^n\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)=x\,\frac{\sin u_n}{u_n}$ avec $u_n=\frac{x}{2^n}$, et utiliser $\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$.
1. La formule de duplication donne $\sin(2a)=2\sin a\cos a$. Comme $\sin a\neq0$, on divise par $2\sin a$ : $\cos a=\dfrac{\sin(2a)}{2\sin a}$.
2. Pour $k\in\mathbb{N}$, $0<\frac{x}{2^k}\leqslant x<\pi$, donc $\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)>0$. Pour $k\geqslant1$, $0<\frac{x}{2^k}<\frac{\pi}{2}$, donc $\cos\left(\frac{x}{2^k}\right)>0$. Un produit de réels strictement positifs est strictement positif : $P_n>0$.
3. Posons $a_k=\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)$ pour $k\in\mathbb{N}$ ; ces réels sont non nuls d'après la question 2. Pour $k\geqslant1$, on applique la question 1 avec $a=\frac{x}{2^k}$, de sorte que $2a=\frac{x}{2^{k-1}}$ : $$\cos\left(\frac{x}{2^k}\right)=\frac{a_{k-1}}{2\,a_k}.$$ Le facteur $\frac12$ apparaît une fois par terme, donc $$P_n=\frac{1}{2^n}\prod_{k=1}^{n}\frac{a_{k-1}}{a_k}.$$ Avec $b_k=\frac{1}{a_k}$, on a $\frac{a_{k-1}}{a_k}=\frac{b_k}{b_{k-1}}$ ; par télescopage, $\prod_{k=1}^{n}\frac{b_k}{b_{k-1}}=\frac{b_n}{b_0}=\frac{a_0}{a_n}$. Donc $$P_n=\frac{a_0}{2^n\,a_n}=\frac{\sin x}{2^n\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)}.$$ Vérification pour $n=1$ : $\frac{\sin x}{2\sin(x/2)}=\frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\sin(x/2)}=\cos\frac x2$.
4. Tous les facteurs sont strictement positifs, donc le logarithme du produit est la somme des logarithmes : $$\sum_{k=1}^{n}\ln\cos\left(\frac{x}{2^k}\right)=\ln P_n=\ln(\sin x)-n\ln2-\ln\sin\left(\frac{x}{2^n}\right).$$
5. Posons $u_n=\frac{x}{2^n}$. Alors $u_n>0$, $u_n\to0$ et $2^n\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)=x\,\frac{\sin u_n}{u_n}$. Comme $\frac{\sin u}{u}\to1$ quand $u\to0$ (nombre dérivé de $\sin$ en $0$, égal à $\cos0=1$), on obtient $2^n\sin\left(\frac{x}{2^n}\right)\to x\neq0$. Donc $$\lim_{n\to+\infty}P_n=\frac{\sin x}{x}.$$
6. Avec $x=\frac{\pi}{2}\in\left]0,\pi\right[$, on a $\frac{x}{2^k}=\frac{\pi}{2^{k+1}}$, donc le produit proposé est $P_n$ pour cette valeur de $x$. Sa limite est $$\frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2}=\frac{2}{\pi}.$$
$P_n=\frac{\sin x}{2^n\sin(x/2^n)}$ ; $\lim P_n=\frac{\sin x}{x}$ ; limite $\frac{2}{\pi}$ pour $x=\frac{\pi}{2}$