Pour chacune des parties suivantes de $\mathbb C^*$, dire si c'est un sous-groupe de $(\mathbb C^*,\times)$, en justifiant.
(a) $D=\{z\in\mathbb C^*,\ |z|\leq1\}$ ; (b) $\mathbb R^*$ ; (c) $H=\{e^{i\pi q},\ q\in\mathbb Q\}$ ; (d) $i\mathbb R^*=\{iy,\ y\in\mathbb R^*\}$ ; (e) $\mathbb U_4\cup\mathbb U_6$.
Pour un sous-groupe, vérifier $1\in H$ et $zw^{-1}\in H$ ; pour une partie qui n'en est pas un, un seul contre-exemple suffit.
Pour (a), regarder le module de l'inverse d'un élément de module $<1$.
Pour (e), multiplier $i$ par $e^{i\pi/3}$ et tester l'appartenance à $\mathbb U_4$ et à $\mathbb U_6$.
(a) $\frac12\in D$, mais son inverse $2$ vérifie $|2|=2>1$, donc $2\notin D$. La partie $D$ n'est pas stable par passage à l'inverse : ce n'est pas un sous-groupe.
(b) $\mathbb R^*\subset\mathbb C^*$ et $1\in\mathbb R^*$. Pour $x,y\in\mathbb R^*$, $xy^{-1}=x/y$ est un réel non nul. C'est un sous-groupe.
(c) $H\subset\mathbb U\subset\mathbb C^*$ et $1=e^{i\pi\cdot0}\in H$. Pour $q,q'\in\mathbb Q$ : $$e^{i\pi q}\left(e^{i\pi q'}\right)^{-1}=e^{i\pi(q-q')},$$ avec $q-q'\in\mathbb Q$. C'est un sous-groupe. Autre argument : $H$ est l'image du morphisme $q\mapsto e^{i\pi q}$ de $(\mathbb Q,+)$ dans $(\mathbb C^*,\times)$.
(d) $i\in i\mathbb R^*$, mais $i\times i=-1$ et $-1=iy$ imposerait $y=i\notin\mathbb R$. Donc $-1\notin i\mathbb R^*$ : la partie n'est pas stable par produit, ce n'est pas un sous-groupe (d'ailleurs $1\notin i\mathbb R^*$).
(e) $i\in\mathbb U_4$ et $e^{i\pi/3}\in\mathbb U_6$. Leur produit est $z=e^{5i\pi/6}$. On a $z^4=e^{10i\pi/3}=e^{4i\pi/3}\neq1$ et $z^6=e^{5i\pi}=-1\neq1$. Donc $z\notin\mathbb U_4\cup\mathbb U_6$ : ce n'est pas un sous-groupe.
Conclusion : seules (b) et (c) sont des sous-groupes.
(b) et (c) sont des sous-groupes ; (a), (d), (e) n'en sont pas