Déterminer le groupe des inversibles d'un anneauReconnaître un anneau non intègre
On admet que $A=\mathbb Z\times\mathbb R$, muni des opérations composante par composante $(a,x)+(b,y)=(a+b,x+y)$ et $(a,x)(b,y)=(ab,xy)$, est un anneau commutatif, de zéro $(0,0)$ et d'unité $(1,1)$.
- Déterminer $A^\times$.
- L'anneau $A$ est-il intègre ?
- Déterminer les diviseurs de zéro de $A$.
Indice 1
$(a,x)(b,y)=(1,1)$ se traduit par deux équations, une dans $\mathbb Z$ et une dans $\mathbb R$.
Indice 2
Pour les diviseurs de zéro, distinguer selon que $a$ ou $x$ est nul.
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