Utiliser $f(x^n)=f(x)^n$ pour un morphismeCalculer noyau et imageMontrer que deux groupes ne sont pas isomorphes
- Soit $f$ un endomorphisme du groupe $(\mathbb Z,+)$ et $a=f(1)$. Montrer que $f(n)=an$ pour tout $n\in\mathbb Z$. Réciproquement, montrer que pour tout $a\in\mathbb Z$, $f_a:n\mapsto an$ est un endomorphisme de $(\mathbb Z,+)$.
- Déterminer $\mathrm{Ker}\,f_a$ et $\mathrm{Im}\,f_a$. À quelle condition $f_a$ est-il injectif ? surjectif ?
- Déterminer les automorphismes de $(\mathbb Z,+)$.
- Montrer que les groupes $(\mathbb Z,+)$ et $(\mathbb Q,+)$ ne sont pas isomorphes.
Indice 1
En notation additive, la règle $f(x^n)=f(x)^n$ s'écrit $f(nx)=nf(x)$.
Indice 2
$f_a$ est surjectif si et seulement si $1$ a un antécédent.
Indice 3
Pour la question 4, un morphisme $g$ de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Q$ est encore déterminé par $g(1)$ ; chercher un rationnel qui n'est pas atteint.
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