Exercice corrigé : Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$

Dans l'anneau $A=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ muni des opérations point par point, dire si les parties suivantes sont des sous-anneaux :

(a) l'ensemble $P$ des fonctions paires ; (b) l'ensemble $I$ des fonctions impaires ; (c) l'ensemble $Z$ des fonctions $f$ telles que $f(0)=0$ ; (d) l'ensemble $B$ des fonctions bornées ; (e) l'ensemble $E$ des fonctions $f$ telles que $f(0)=f(1)$.