Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Un morphisme de corps est injectif
Un morphisme de corps est injectif : énoncé (MPSI)
Propriété
Un morphisme de corps est injectif
Si $K$ est un corps, $B$ un anneau non nul et $f:K\to B$ un morphisme d'anneaux, alors $f$ est injectif.
Démonstration : Un morphisme de corps est injectif
Démonstration
Injectivité d'un morphisme de corps
Par le critère d'injectivité appliqué au morphisme de groupes $(K,+)\to(B,+)$, il suffit de montrer $\mathrm{Ker}\,f=\{0\}$. Soit $x\neq0$ tel que $f(x)=0$. Alors $1_B=f(1_K)=f(xx^{-1})=f(x)f(x^{-1})=0\cdot f(x^{-1})=0_B$, ce qui contredit $B\neq\{0\}$. Donc $\mathrm{Ker}\,f=\{0\}$.
S’entraîner
- Deux noyaux, deux images
- Endomorphismes de $(\mathbb Z,+)$
- L'anneau $\mathbb Z[i\sqrt2]$
- Morphismes d'anneaux de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$
- Le groupe des transformations affines de $\mathbb R$ (type CCINP)
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Un morphisme de corps est injectif