Exercice corrigé : Morphismes d'anneaux de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ un morphisme d'anneaux.

1. Montrer que $f(n)=n$ pour tout $n\in\mathbb Z$, puis que $f(r)=r$ pour tout $r\in\mathbb Q$.
2. Montrer que $f(x)\geq0$ pour tout $x\geq0$, puis que $f$ est croissante.
3. En déduire que $f=\mathrm{id}_{\mathbb R}$.
4. Déterminer les morphismes d'anneaux $g:\mathbb C\to\mathbb C$ tels que $g(x)=x$ pour tout $x\in\mathbb R$.