Montrer qu'un ensemble est un corps : méthode (MPSI)
Montrer qu'un ensemble est un corps
- Le voir comme partie d'un corps connu ($\mathbb R$ ou $\mathbb C$ le plus souvent).
- Vérifier que c'est un sous-anneau : il contient $1$, il est stable par différence et par produit.
- Pour $x\neq0$ dans la partie, calculer $x^{-1}$ dans le grand corps et montrer qu'il appartient à la partie. Pour une expression avec racine carrée, on multiplie par la « quantité conjuguée ».
$\mathbb Q(\sqrt2)$ est un corps
Soit $L=\{a+b\sqrt2,\ a,b\in\mathbb Q\}\subset\mathbb R$.
Sous-anneau. $1=1+0\sqrt2\in L$. La différence de deux éléments de $L$ est dans $L$. Et $$(a+b\sqrt2)(c+d\sqrt2)=(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt2\in L.$$ Inverses. Soit $x=a+b\sqrt2\neq0$, avec $a,b\in\mathbb Q$. Montrons que $a-b\sqrt2\neq0$. Si $b\neq0$, l'égalité $a-b\sqrt2=0$ donnerait $\sqrt2=a/b\in\mathbb Q$, ce qui est faux. Si $b=0$, alors $a=x\neq0$. Ainsi $a^2-2b^2=(a+b\sqrt2)(a-b\sqrt2)$ est un rationnel non nul, et $$\frac1x=\frac{a-b\sqrt2}{a^2-2b^2}=\frac{a}{a^2-2b^2}-\frac{b}{a^2-2b^2}\sqrt2\in L.$$ Donc $L$ est un sous-corps de $\mathbb R$, et en particulier un corps. Exemple numérique : $\dfrac1{3+\sqrt2}=\dfrac{3-\sqrt2}{9-2}=\dfrac37-\dfrac17\sqrt2$.
S’entraîner
- Une loi translatée sur $\mathbb Z$
- Deux noyaux, deux images
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- La loi $\frac{x+y}{1+xy}$ sur $]-1,1[$
- Intersection et somme de deux sous-groupes de $\mathbb Z$
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Montrer qu'un ensemble est un corps