Prépa, 1re année › Structures algébriques usuelles › Tout sous-corps de $\mathbb R$ contient $\mathbb Q$
Tout sous-corps de $\mathbb R$ contient $\mathbb Q$ : énoncé (MPSI)
Propriété
Tout sous-corps de $\mathbb R$ contient $\mathbb Q$
Si $L$ est un sous-corps de $\mathbb R$ (ou de $\mathbb C$), alors $\mathbb Q\subset L$.
Démonstration : Tout sous-corps de $\mathbb R$ contient $\mathbb Q$
Démonstration
Tout sous-corps contient $\mathbb Q$
$1\in L$ et $(L,+)$ est un sous-groupe, donc $L$ contient tous les multiples entiers $n\cdot1=n$ : $\mathbb Z\subset L$. Pour $p\in\mathbb Z$ et $q\in\mathbb N^*$, $q\in L\setminus\{0\}$, donc $q^{-1}\in L$, puis $p\times q^{-1}=p/q\in L$ par stabilité par produit.
S’entraîner
- Une loi translatée sur $\mathbb Z$
- Sous-groupes de $(\mathbb C^*,\times)$ ou non
- Deux noyaux, deux images
- Sous-anneaux de $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$
- Inversibles et diviseurs de zéro dans $\mathbb Z\times\mathbb R$
Dans le cours
Structures algébriques usuelles : Tout sous-corps de $\mathbb R$ contient $\mathbb Q$