Loi binomiale : définition (MPSI)

Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $p\in[0,1]$. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $(n,p)$, noté $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, si $X(\Omega)\subset[\![0,n]\!]$ et $$\forall k\in[\![0,n]\!],\quad P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.$$ Ces nombres sont positifs et, par la formule du binôme, $\sum_{k=0}^n\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=(p+1-p)^n=1$ : c'est bien une loi. On note que $\mathcal{B}(1,p)=\mathcal{B}(p)$.