Nombre de succès : énoncé (MPSI)
Nombre de succès
On répète $n$ fois une épreuve de Bernoulli, de façon que les événements $A_1,\dots,A_n$ (« succès à l'épreuve $i$ ») soient mutuellement indépendants et de même probabilité $p$. Le nombre $X$ de succès suit la loi $\mathcal{B}(n,p)$.
Démonstration : Nombre de succès
Soit $k\in[\![0,n]\!]$. L'événement $(X=k)$ signifie que l'ensemble $I$ des indices des épreuves réussies a exactement $k$ éléments : $$(X=k)=\bigcup_{\substack{I\subset[\![1,n]\!]\\|I|=k}}B_I,\qquad B_I=\bigcap_{i\in I}A_i\cap\bigcap_{i\notin I}\overline{A_i}.$$ Les $B_I$ sont deux à deux incompatibles : si $I\neq J$, un indice appartient à l'un et pas à l'autre, et l'épreuve correspondante ne peut être à la fois un succès et un échec.
Les $A_i$ étant mutuellement indépendants, la famille obtenue en remplaçant certains $A_i$ par leurs contraires l'est aussi, donc $P(B_I)=p^k(1-p)^{n-k}$.
Il y a $\binom nk$ parties $I$ à $k$ éléments, d'où $P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$.
QCM répondu au hasard
Un QCM comporte $10$ questions à $4$ choix, une seule bonne réponse par question. Un candidat répond au hasard, indépendamment d'une question à l'autre. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal{B}(10,\frac14)$.
Probabilité d'avoir au moins $8$ bonnes réponses : $$P(X\geqslant 8)=\binom{10}{8}\frac{3^2}{4^{10}}+\binom{10}{9}\frac{3}{4^{10}}+\frac{1}{4^{10}}=\frac{45\times9+30+1}{1\,048\,576}=\frac{436}{1\,048\,576}=\frac{109}{262\,144}.$$ Soit environ $4{,}2\times10^{-4}$.
S’entraîner
- Tirs sur une cible
- Affluence dans un magasin
- Un dé, puis des pièces
- Urnes vides
- Œufs et poussins (type CCINP)