Méthode des indicatricesVariance d'une somme de variables non indépendantes
Soient $N\geqslant2$ et $n\geqslant1$ des entiers. On place $n$ boules dans $N$ urnes : chaque boule est placée dans une urne choisie uniformément, indépendamment des autres. On note $Z$ le nombre d'urnes restées vides.
- Pour $i\in[\![1,N]\!]$, soit $A_i$ l'événement « l'urne $i$ est vide ». Calculer $P(A_i)$, puis $E(Z)$.
- Pour $i\neq j$, calculer $P(A_i\cap A_j)$, puis exprimer $V(Z)$ en fonction de $a=\big(1-\frac1N\big)^n$ et $b=\big(1-\frac2N\big)^n$.
- Cas $N=n=3$ : donner $E(Z)$ et $V(Z)$, puis vérifier en déterminant directement la loi de $Z$.
Indice 1
Prendre $\Omega=[\![1,N]\!]^n$ muni de l'équiprobabilité : $\omega_k$ est le numéro de l'urne de la boule $k$.
Indice 2
$Z=\sum_{i=1}^N\mathbf 1_{A_i}$. L'urne $i$ est vide si chaque boule va dans l'une des $N-1$ autres urnes.
Indice 3
Il y a $N(N-1)$ couples $(i,j)$ avec $i\neq j$, soit $\frac{N(N-1)}2$ paires $i<j$.
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