Prépa, 1re année › Variables aléatoires sur un univers fini › Caractérisation par les parties
Caractérisation par les parties : énoncé (MPSI)
Propriété
Caractérisation par les parties
$X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si, pour toutes parties $A\subset E$ et $B\subset F$, $$P(X\in A,\,Y\in B)=P(X\in A)\,P(Y\in B).$$
Démonstration : Caractérisation par les parties
Démonstration
Le sens réciproque s'obtient avec $A=\{x\}$, $B=\{y\}$.
Sens direct : quitte à remplacer $A$ par $A\cap X(\Omega)$ et $B$ par $B\cap Y(\Omega)$, on suppose $A\subset X(\Omega)$, $B\subset Y(\Omega)$. L'événement $(X\in A,Y\in B)$ est la réunion disjointe des $(X=x,Y=y)$ pour $(x,y)\in A\times B$, donc $$P(X\in A,Y\in B)=\sum_{x\in A}\sum_{y\in B}P(X=x)P(Y=y)=\Big(\sum_{x\in A}P(X=x)\Big)\Big(\sum_{y\in B}P(Y=y)\Big)=P(X\in A)P(Y\in B).$$
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Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Caractérisation par les parties