Lemme des coalitions : énoncé (MPSI)
Lemme des coalitions
Si $X_1,\dots,X_n$ sont mutuellement indépendantes et $1\leqslant m<n$, alors pour toutes fonctions $f$ et $g$, les variables $f(X_1,\dots,X_m)$ et $g(X_{m+1},\dots,X_n)$ sont indépendantes. Le résultat s'étend à plus de deux « paquets » disjoints de variables.
Exemple : si $X_1,X_2,X_3,X_4$ sont mutuellement indépendantes, $X_1+X_2$ et $X_3X_4$ sont indépendantes.
Démonstration et modélisation
La démonstration du lemme des coalitions n'est pas exigible. On admet aussi que, pour des lois données $\mu_1,\dots,\mu_n$, il existe un espace probabilisé fini portant des variables $X_1,\dots,X_n$ mutuellement indépendantes de lois respectives $\mu_1,\dots,\mu_n$ (on peut prendre un produit d'espaces).
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Dans le cours
Variables aléatoires sur un univers fini : Lemme des coalitions