Soit $n\geq1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
- Montrer que si $A$ est nilpotente, alors $\mathrm{tr}(A^k)=0$ pour tout $k\geq1$.
- Réciproquement, on suppose que $\mathrm{tr}(A^k)=0$ pour tout $k\in\{1,\dots,n\}$. Montrer que $A$ est nilpotente.
- Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ telles que $AB-BA=A$. Montrer que $A^kB-BA^k=kA^k$ pour tout $k\geq1$, puis que $A$ est nilpotente.
Sur $\mathbb C$, $\mathrm{tr}(A^k)=\sum_i\lambda_i^k$, les $\lambda_i$ étant les valeurs propres répétées selon leur multiplicité.
Raisonner par l'absurde en notant $\mu_1,\dots,\mu_r$ les valeurs propres non nulles distinctes et $m_1,\dots,m_r$ leurs multiplicités.
Pour 3, récurrence en écrivant $A^{k+1}B-BA^{k+1}=A(A^kB-BA^k)+(AB-BA)A^k$, puis prendre la trace.
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Si $A$ est nilpotente, $\chi_A=X^n$ : sa seule valeur propre complexe est $0$, de multiplicité $n$. D'après le cours, $\mathrm{tr}(A^k)=\sum_{i=1}^n\lambda_i^k=0$ pour tout $k\geq1$.
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$\chi_A$ est scindé sur $\mathbb C$. Supposons par l'absurde que $A$ admette au moins une valeur propre non nulle, et notons $\mu_1,\dots,\mu_r$ ($1\leq r\leq n$) ses valeurs propres non nulles deux à deux distinctes, de multiplicités $m_1,\dots,m_r\geq1$. La valeur propre $0$ éventuelle ne contribue pas aux sommes de puissances, donc pour $1\leq k\leq r$ : $$\mathrm{tr}(A^k)=\sum_{i=1}^rm_i\mu_i^k=0.$$ Le vecteur $(m_1,\dots,m_r)$ est solution du système homogène de matrice $W=(\mu_i^k)_{1\leq k\leq r,\,1\leq i\leq r}$. En factorisant $\mu_i$ dans la colonne $i$, $$\det W=\mu_1\cdots\mu_r\prod_{1\leq i<l\leq r}(\mu_l-\mu_i)\neq0,$$ puisque les $\mu_i$ sont non nuls et deux à deux distincts (Vandermonde). Donc $m_1=\cdots=m_r=0$ dans $\mathbb C$, ce qui contredit $m_i\geq1$. Ainsi $\mathrm{Sp}_{\mathbb C}(A)=\{0\}$, $\chi_A=X^n$, et $A^n=0$ par Cayley-Hamilton : $A$ est nilpotente.
Remarque : les seules traces $\mathrm{tr}(A),\dots,\mathrm{tr}(A^{n-1})$ ne suffisent pas ; pour $n=2$, $\mathrm{diag}(1,-1)$ est de trace nulle sans être nilpotente.
- Récurrence sur $k\geq1$. Pour $k=1$, c'est l'hypothèse. Si $A^kB-BA^k=kA^k$, alors $$A^{k+1}B-BA^{k+1}=A(A^kB-BA^k)+(AB-BA)A^k=kA^{k+1}+A^{k+1}=(k+1)A^{k+1}.$$ En prenant la trace, et comme $\mathrm{tr}(A^kB)=\mathrm{tr}(BA^k)$ : $k\,\mathrm{tr}(A^k)=0$, donc $\mathrm{tr}(A^k)=0$ pour tout $k\geq1$. Par 2, $A$ est nilpotente.
$A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ est nilpotente si et seulement si $\mathrm{tr}(A^k)=0$ pour $1\leq k\leq n$ ; si $AB-BA=A$, alors $\mathrm{tr}(A^k)=0$ pour tout $k\geq 1$ et $A$ est nilpotente.