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Compter les solutions à l'aide d'un tableau de variations : méthode (Terminale spé)
Méthode
Compter les solutions à l'aide d'un tableau de variations
- Dresser le tableau de variations complet (valeurs aux extrémums et limites aux bornes).
- Découper le domaine en intervalles sur lesquels $f$ est strictement monotone.
- Sur chaque intervalle, regarder si $k$ est compris entre les valeurs (ou limites) aux bornes : si oui, une unique solution sur cet intervalle ; si non, aucune.
- Additionner.
Exemple
Trois solutions
Soit $f(x)=x^3-3x+1$ sur $\mathbb{R}$. On a $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$, positive sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$, négative sur $[-1\,;1]$. De plus $f(-1)=-1+3+1=3$ et $f(1)=1-3+1=-1$. Les limites en $-\infty$ et $+\infty$ sont celles du terme $x^3$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $3$ | $\searrow$ | $-1$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
- Sur $]-\infty\,;-1]$ : $f$ continue, strictement croissante, de $-\infty$ à $3$, et $0\in\,]-\infty\,;3]$ : une unique solution.
- Sur $[-1\,;1]$ : $f$ continue, strictement décroissante, de $3$ à $-1$, et $0\in[-1\,;3]$ : une unique solution.
- Sur $[1\,;+\infty[$ : $f$ continue, strictement croissante, de $-1$ à $+\infty$ : une unique solution.
L'équation $f(x)=0$ admet donc exactement trois solutions dans $\mathbb{R}$.
S’entraîner
- Existence de solutions par le théorème des valeurs intermédiaires
- Unique solution et encadrement
- Compter les solutions avec un tableau de variations
- Une équation avec l'exponentielle sur ℝ
- Nombre de solutions selon un paramètre
Dans le cours
Continuité : Compter les solutions à l'aide d'un tableau de variations