Montrer que $f(x)=k$ a une unique solution et l'encadrer : méthode (Terminale spé)

Soit $f(x)=x^3+x-1$ sur $[0\,;1]$.

• $f$ est un polynôme, donc continue sur $[0\,;1]$.
• $f'(x)=3x^2+1>0$ pour tout $x$, donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;1]$.
• $f(0)=-1<0$ et $f(1)=1>0$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0\,;1]$.

Encadrement. $f(0{,}6)=0{,}216+0{,}6-1=-0{,}184<0$ et $f(0{,}7)=0{,}343+0{,}7-1=0{,}043>0$, donc $0{,}6<\alpha<0{,}7$.

Plus finement : $f(0{,}68)=0{,}314432+0{,}68-1=-0{,}005568<0$ et $f(0{,}69)=0{,}328509+0{,}69-1=0{,}018509>0$, donc $0{,}68<\alpha<0{,}69$.

Soit $h(x)=\mathrm{e}^x+x$ sur $\mathbb{R}$.

• $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ (somme de fonctions continues).
• $h'(x)=\mathrm{e}^x+1>0$, donc $h$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• $\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^x=0$ donc $\lim_{x\to-\infty}h(x)=-\infty$ ; $\lim_{x\to+\infty}h(x)=+\infty$.

$0$ est strictement compris entre $-\infty$ et $+\infty$ : l'équation $h(x)=0$ admet une unique solution $\beta$ dans $\mathbb{R}$.

$h(-1)=\mathrm{e}^{-1}-1\approx-0{,}632<0$ et $h(0)=1>0$, donc $-1<\beta<0$. Avec la calculatrice : $h(-0{,}57)\approx-0{,}0045<0$ et $h(-0{,}56)\approx 0{,}0112>0$, donc $-0{,}57<\beta<-0{,}56$.