Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires : énoncé (Terminale spé)

Existence. $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ : le théorème des valeurs intermédiaires donne au moins un $c\in[a\,;b]$ tel que $f(c)=k$.

Unicité. Supposons $f$ strictement croissante (le cas décroissant est identique). Soient $c_1$ et $c_2$ deux solutions dans $[a\,;b]$, avec $c_1\neq c_2$, par exemple $c_1<c_2$. La stricte croissance donne $f(c_1)<f(c_2)$, c'est-à-dire $k<k$ : c'est absurde. Donc $c_1=c_2$ et la solution est unique.