Soit $f$ une fonction continue sur $[0\,;1]$, à valeurs dans $[0\,;1]$ : pour tout $x\in[0\,;1]$, $0\leqslant f(x)\leqslant 1$. On pose, pour $x\in[0\,;1]$, $g(x)=f(x)-x$.
- Montrer que $g(0)\geqslant 0$ et $g(1)\leqslant 0$. En déduire qu'il existe au moins un réel $c\in[0\,;1]$ tel que $f(c)=c$.
- On suppose de plus que $f$ est décroissante sur $[0\,;1]$. Montrer que $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$, puis que le réel $c$ est unique.
- Application. Montrer que l'équation $\cos x=x$ admet une unique solution $c$ dans $[0\,;1]$, puis en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ (calculatrice en radians).
$g$ est continue comme différence de fonctions continues ; utiliser l'encadrement $0\leqslant f(x)\leqslant 1$ en $x=0$ et en $x=1$.
Pour la stricte décroissance, prendre $x<y$ dans $[0\,;1]$ et comparer $f(x)$ et $f(y)$, puis $-x$ et $-y$.
Pour l'application, vérifier que $\cos$ est décroissante sur $[0\,;1]$ et que $\cos 1>0$.
- Comme $f(0)\in[0\,;1]$, $g(0)=f(0)-0=f(0)\geqslant 0$. Comme $f(1)\leqslant 1$, $g(1)=f(1)-1\leqslant 0$.
$g$ est continue sur $[0\,;1]$, comme différence de la fonction continue $f$ et d'un polynôme. Le réel $0$ est compris entre $g(1)\leqslant 0$ et $g(0)\geqslant 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel $c\in[0\,;1]$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $f(c)=c$.
- Soient $x<y$ dans $[0\,;1]$. Comme $f$ est décroissante, $f(x)\geqslant f(y)$. Par ailleurs $-x>-y$. En additionnant ces inégalités (dont l'une est stricte) : $f(x)-x>f(y)-y$, soit $g(x)>g(y)$. Donc $g$ est strictement décroissante sur $[0\,;1]$.
$g$ est continue, strictement décroissante sur $[0\,;1]$, et $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution : le réel $c$ est unique.
- On applique ce qui précède avec $f=\cos$ sur $[0\,;1]$.
- La fonction cosinus est continue sur $[0\,;1]$.
- Elle est décroissante sur $[0\,;\pi]$, donc sur $[0\,;1]$ puisque $1<\pi$.
- Pour $x\in[0\,;1]$, la décroissance donne $\cos 1\leqslant\cos x\leqslant\cos 0=1$. Or $\cos 1\approx 0{,}540>0$. Donc $\cos x\in[0\,;1]$.
Les hypothèses des questions 1 et 2 sont vérifiées : l'équation $\cos x=x$ admet une unique solution $c$ dans $[0\,;1]$.
Encadrement, avec $g(x)=\cos x-x$ : $g(0{,}73)\approx 0{,}7452-0{,}73\approx 0{,}015>0$ et $g(0{,}74)\approx 0{,}7385-0{,}74\approx -0{,}0015<0$. La fonction $g$ étant strictement décroissante et $g(c)=0$, on obtient $0{,}73<c<0{,}74$.
Unique solution $c$ de $\cos x=x$ dans $[0\,;1]$, avec $0{,}73<c<0{,}74$