On appelle anagramme d'un mot tout mot (ayant un sens ou non) formé avec exactement les mêmes lettres, le mot lui-même compris.
- Combien le mot CARTON possède-t-il d'anagrammes ?
- Combien de ces anagrammes commencent par une voyelle ?
- Combien commencent et finissent par une consonne ?
- Combien le mot BARBARA possède-t-il d'anagrammes ?
Les 6 lettres de CARTON sont distinctes.
Les voyelles de CARTON sont A et O ; les consonnes sont C, R, T, N.
Placer d'abord les lettres imposées, puis ranger les autres.
BARBARA contient 3 A, 2 B et 2 R : choisir les positions des A, puis celles des B.
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CARTON a 6 lettres distinctes. Une anagramme est une permutation de ces 6 lettres : $6!=720$ anagrammes.
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Première lettre : A ou O, soit 2 choix. Les 5 lettres restantes se rangent dans les 5 places suivantes : $5!=120$ façons. Donc $2\times120=240$ anagrammes.
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Il y a 4 consonnes : C, R, T, N. Première lettre : 4 choix ; dernière lettre : 3 choix (une autre consonne). Les 4 lettres restantes occupent les 4 places du milieu : $4!=24$ façons. Donc $4\times3\times24=288$ anagrammes.
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BARBARA a 7 lettres : 3 A, 2 B, 2 R. Une anagramme est déterminée par :
- les positions des 3 A parmi les 7 places : $\binom{7}{3}=\dfrac{7\times6\times5}{6}=35$ choix ;
- les positions des 2 B parmi les 4 places restantes : $\binom{4}{2}=6$ choix ;
- les 2 R occupent les 2 dernières places.
Par le principe multiplicatif : $35\times6=210$ anagrammes. Vérification : $\dfrac{7!}{3!\times2!\times2!}=\dfrac{5040}{24}=210$.
720 ; 240 ; 288 ; 210