Trouver l'inverse à partir d'une relation entre puissances : méthode (Maths expertes)
Trouver l'inverse à partir d'une relation entre puissances
Si l'énoncé fournit (ou fait démontrer) une relation du type $A^2=\alpha A+\beta I_n$ avec $\beta\neq 0$ :
- On isole $I_n$ : $A^2-\alpha A=\beta I_n$.
- On factorise par $A$ : $A(A-\alpha I_n)=\beta I_n$.
- On divise par $\beta$ : $A\cdot\dfrac{1}{\beta}(A-\alpha I_n)=I_n$.
- On conclut : $A$ est inversible et $A^{-1}=\dfrac{1}{\beta}(A-\alpha I_n)$.
Cette méthode fonctionne pour toute taille de matrice, en particulier pour les matrices $3\times 3$.
Application de la méthode
Soit $A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$. On calcule $A^2=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ et $3A-2I_2=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$, donc $A^2=3A-2I_2$.
Ainsi $A^2-3A=-2I_2$, soit $A(A-3I_2)=-2I_2$, donc $A\cdot\dfrac{1}{2}(3I_2-A)=I_2$. Par conséquent $$A^{-1}=\frac{1}{2}(3I_2-A)=\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$ On retrouve le résultat de la formule : $\det(A)=2$ et $\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ donne la même matrice.
Matrices d'ordre 3
Pour une matrice $3\times 3$, aucune formule n'est exigible. On obtient l'inverse à la calculatrice, par une relation entre puissances, ou bien on vérifie par un produit qu'une matrice proposée par l'énoncé est l'inverse cherché.
S’entraîner
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Dans le cours
Graphes et matrices : Trouver l'inverse à partir d'une relation entre puissances