Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes. Donner les solutions sous forme algébrique.
- $(2-i)z+3i=1+i$
- $2z+i\overline{z}=5+4i$
Dans la première équation, seul $z$ apparaît : on l'isole comme dans $\mathbb{R}$.
Dans la seconde, $z$ et $\overline{z}$ apparaissent ensemble : on pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
Attention au produit $i\times(-iy)$, qui vaut $+y$.
1. $(2-i)z+3i=1+i\iff(2-i)z=1-2i$. Comme $2-i\neq 0$ : $$z=\frac{1-2i}{2-i}=\frac{(1-2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2+i-4i-2i^2}{4+1}=\frac{4-3i}{5}=\frac45-\frac35i.$$ Vérification : $(2-i)(4-3i)=8-6i-4i+3i^2=5-10i$, donc $(2-i)\times\dfrac{4-3i}{5}=1-2i$, puis $1-2i+3i=1+i$. L'ensemble des solutions est $\left\{\dfrac45-\dfrac35i\right\}$.
2. On pose $z=x+iy$ avec $x,y$ réels, donc $\overline{z}=x-iy$ : $$2z+i\overline{z}=2x+2iy+ix-i^2y=(2x+y)+i(x+2y).$$ Par identification des parties réelles et imaginaires, l'équation équivaut au système $$\begin{cases}2x+y=5\\x+2y=4\end{cases}$$ La première ligne donne $y=5-2x$. En remplaçant : $x+10-4x=4$, soit $-3x=-6$, donc $x=2$ et $y=1$.
Vérification : $2(2+i)+i(2-i)=4+2i+2i-i^2=5+4i$. L'unique solution est $z=2+i$.
- $z=\frac45-\frac35i$ ; 2. $z=2+i$