Terminale › Nombres complexes › Résoudre $z^n=a$ avec $a\neq 0$

Résoudre $z^n=a$ avec $a\neq 0$ : méthode (Maths expertes)

Méthode

Résoudre $z^n=a$ avec $a\neq 0$

On écrit $a$ sous forme exponentielle : $a=\rho e^{i\alpha}$ avec $\rho>0$.
On cherche $z$ sous la forme $re^{i\theta}$, $r>0$ ($z=0$ n'est pas solution). L'équation $r^ne^{in\theta}=\rho e^{i\alpha}$ équivaut à $r^n=\rho$ et $n\theta=\alpha\;[2\pi]$.
Donc $r=\rho^{1/n}$ (unique réel positif dont la puissance $n$-ième vaut $\rho$) et $\theta=\dfrac{\alpha}{n}+\dfrac{2k\pi}{n}$.
On obtient exactement $n$ solutions, pour $k\in\{0,\dots,n-1\}$ : $z_k=\rho^{1/n}e^{i\left(\frac{\alpha}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}$.

Autre lecture : si $z_0$ est une solution, les solutions sont les $z_0\,u$ avec $u\in\mathbb{U}_n$.

Exemple

Résoudre $z^3=8i$

$8i=8e^{i\pi/2}$. Avec $z=re^{i\theta}$ : $r^3=8$ donc $r=2$, et $3\theta=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2k\pi}{3}$.

$k=0$ : $z_0=2e^{i\pi/6}=2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{i}{2}\right)=\sqrt{3}+i$ ;
$k=1$ : $z_1=2e^{5i\pi/6}=-\sqrt{3}+i$ ;
$k=2$ : $z_2=2e^{3i\pi/2}=-2i$.

Vérification : $(-2i)^3=-8i^3=8i$. L'ensemble des solutions est $\{\sqrt3+i\,;\,-\sqrt3+i\,;\,-2i\}$.

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