Résoudre une équation z^n = aUtiliser les racines n-ièmes de l'unitéInterpréter géométriquement
- Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^4=-16$. Donner les solutions sous forme exponentielle puis algébrique.
- On note $z_0,z_1,z_2,z_3$ ces solutions, rangées par argument croissant dans $[0;2\pi[$, et $M_0,M_1,M_2,M_3$ leurs images. Montrer que $M_0M_1M_2M_3$ est un carré et calculer son aire.
- Calculer $z_0+z_1+z_2+z_3$.
Indice 1
On écrit $-16=16e^{i\pi}$ et on cherche $z=re^{i\theta}$ avec $r>0$.
Indice 2
L'équation $4\theta=\pi\;[2\pi]$ donne quatre valeurs de $\theta$ distinctes modulo $2\pi$.
Indice 3
On peut remarquer que $z_{k+1}=iz_k$.
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