Propriétés de $\mathbb{U}_n$ : énoncé (Maths expertes)
Propriétés de $\mathbb{U}_n$
- Pour $n\geq 3$, les images des éléments de $\mathbb{U}_n$ sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle trigonométrique, dont un sommet est le point d'affixe $1$.
- Le produit de deux éléments de $\mathbb{U}_n$ est dans $\mathbb{U}_n$ ; l'inverse et le conjugué d'un élément de $\mathbb{U}_n$ sont dans $\mathbb{U}_n$.
- Pour $n\geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de l'unité est nulle : $$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=1+\omega+\omega^2+\dots+\omega^{n-1}=0.$$
Démonstration : Propriétés de $\mathbb{U}_n$
Somme des racines $n$-ièmes
Soit $n\geq 2$ et $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Comme $0<\dfrac{2\pi}{n}<2\pi$, on a $\omega\neq 1$. La somme est celle des termes d'une suite géométrique de raison $\omega\neq 1$ (la formule reste valable dans $\mathbb{C}$, sa preuve n'utilisant que les règles de calcul) :
$$\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k=\frac{1-\omega^n}{1-\omega}=\frac{1-1}{1-\omega}=0.$$
$\mathbb{U}_3$ et $\mathbb{U}_4$
$\mathbb{U}_3$. On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Alors $\mathbb{U}_3=\{1\,;\,j\,;\,j^2\}$ avec $j^2=e^{\frac{4i\pi}{3}}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\overline{j}$. On vérifie $1+j+j^2=1-\dfrac12-\dfrac12=0$. Les images forment un triangle équilatéral. On retrouve les solutions de $z^2+z+1=0$, puisque $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$.
$\mathbb{U}_4$. Avec $\omega=e^{i\pi/2}=i$ : $\mathbb{U}_4=\{1\,;\,i\,;\,-1\,;\,-i\}$. Les images forment un carré et $1+i-1-i=0$.
S’entraîner
- Équations du premier degré
- Équations du second degré à coefficients réels
- Une équation de degré 3 et un triangle
- Linéarisation et calcul d'intégrale
- Résoudre z⁴ = −16