Description de $\mathbb{U}_n$ : énoncé (Maths expertes)

Les éléments de $\mathbb{U}_n$ sont de module 1. Si $z^n=1$, alors $|z|^n=|z^n|=1$. Comme $|z|$ est un réel positif, $|z|=1$. On peut donc écrire $z=e^{i\theta}$ avec $\theta$ réel.

Équivalence. Pour $z=e^{i\theta}$ : $z^n=e^{in\theta}$, et $e^{in\theta}=1=e^{i0}$ équivaut à $n\theta=0\;[2\pi]$, c'est-à-dire à l'existence d'un entier $k$ tel que $n\theta=2k\pi$, soit $\theta=\dfrac{2k\pi}{n}$. Donc $\mathbb{U}_n=\left\{e^{\frac{2ik\pi}{n}},\;k\in\mathbb{Z}\right\}$.

On se ramène à $k\in\{0,\dots,n-1\}$. Soit $k\in\mathbb{Z}$ ; la division euclidienne donne $k=qn+r$ avec $0\leq r\leq n-1$. Alors $e^{\frac{2ik\pi}{n}}=e^{2iq\pi}e^{\frac{2ir\pi}{n}}=e^{\frac{2ir\pi}{n}}$.

Ces $n$ nombres sont distincts. Pour $0\leq k<k'\leq n-1$, les réels $\dfrac{2k\pi}{n}$ et $\dfrac{2k'\pi}{n}$ sont dans $[0;2\pi[$ et distincts, donc ne diffèrent pas d'un multiple de $2\pi$ : les points correspondants du cercle sont distincts.

$\mathbb{U}_n$ a donc exactement $n$ éléments. Enfin $e^{\frac{2ik\pi}{n}}=\left(e^{\frac{2i\pi}{n}}\right)^k=\omega^k$ par la formule de Moivre.