Exercice corrigé : Type bac : une suite de points en spirale

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$. On considère la suite $(z_n)$ de nombres complexes définie par $z_0=4$ et, pour tout entier naturel $n$, $$z_{n+1}=\frac{1+i}{2}\,z_n.$$ On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ et $q=\dfrac{1+i}{2}$.

1. Calculer $z_1$, $z_2$ et $z_3$ sous forme algébrique.
2. a) Écrire $q$ sous forme exponentielle. b) Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $z_n=4\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^ne^{in\pi/4}$. c) Déterminer les entiers $n$ pour lesquels $A_n$ appartient à l'axe des réels.
3. a) Montrer que, pour tout $n$, $\dfrac{0-z_{n+1}}{z_n-z_{n+1}}=-i$. En déduire la nature du triangle $OA_nA_{n+1}$. b) Montrer que $A_nA_{n+1}=4\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^{n+1}$.
4. Pour $n\geq1$, on pose $L_n=A_0A_1+A_1A_2+\dots+A_{n-1}A_n$. Exprimer $L_n$ en fonction de $n$, puis déterminer sa limite.
5. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $OA_n<10^{-2}$.