Relation fondamentale : énoncé (Maths expertes)
Relation fondamentale
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$$e^{ia}\times e^{ib}=e^{i(a+b)}.$$
Cette relation justifie la notation : $\theta\mapsto e^{i\theta}$ transforme les sommes en produits, comme la fonction exponentielle réelle.
Justification de la relation fondamentale
La relation équivaut à $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$. On peut l'établir avec le produit scalaire de première : pour $\vec{w}_1(\cos a;\sin a)$ et $\vec{w}_2(\cos b;\sin b)$, unitaires et tels que $(\vec{w}_1,\vec{w}_2)=b-a\;[2\pi]$, on a $\vec{w}_1\cdot\vec{w}_2=\cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos(b-a)$, d'où $\cos(a-b)$, puis les autres formules. Dans ce chapitre, on prend la relation fondamentale comme point de départ et on en déduit les formules de trigonométrie (section suivante).