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Calculs en forme exponentielle : énoncé (Maths expertes)
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Calculs en forme exponentielle
Pour $z=re^{i\theta}$ et $z'=r'e^{i\theta'}$ avec $r,r'>0$, et $n\in\mathbb{Z}$ :
| Opération | Forme exponentielle | Module | Argument |
|---|---|---|---|
| $zz'$ | $rr'e^{i(\theta+\theta')}$ | $rr'$ | $\theta+\theta'$ |
| $\dfrac{1}{z}$ | $\dfrac{1}{r}e^{-i\theta}$ | $\dfrac{1}{r}$ | $-\theta$ |
| $\dfrac{z}{z'}$ | $\dfrac{r}{r'}e^{i(\theta-\theta')}$ | $\dfrac{r}{r'}$ | $\theta-\theta'$ |
| $z^n$ | $r^ne^{in\theta}$ | $r^n$ | $n\theta$ |
| $\overline{z}$ | $re^{-i\theta}$ | $r$ | $-\theta$ |
Les arguments sont donnés modulo $2\pi$. En résumé : $\arg(zz')=\arg z+\arg z'$, $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg z-\arg z'$, $\arg(z^n)=n\arg z$, $\arg(\overline{z})=-\arg z\;[2\pi]$.
Justification : le produit découle de la relation fondamentale ; $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{0}=1$ donne l'inverse ; le conjugué vient de $\cos(-\theta)=\cos\theta$ et $\sin(-\theta)=-\sin\theta$ ; la puissance s'obtient par récurrence.
S’entraîner
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- Équations du premier degré
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- Résoudre z⁴ = −16