Calculer une puissance : méthode (Maths expertes)
Calculer une puissance
Pour calculer $z^n$ avec $n$ grand :
- On écrit $z$ sous forme exponentielle $re^{i\theta}$.
- On calcule $z^n=r^ne^{in\theta}$.
- On réduit $n\theta$ modulo $2\pi$ pour se ramener à un angle connu.
- On revient à la forme algébrique si on la demande.
Calcul de $(1+i)^{10}$ et de $\left(\dfrac{-1+i\sqrt3}{1+i}\right)$
$1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$, donc $(1+i)^{10}=\left(\sqrt{2}\right)^{10}e^{i10\pi/4}=32\,e^{i5\pi/2}$. Or $\dfrac{5\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi$, donc $(1+i)^{10}=32e^{i\pi/2}=32i$.
Vérification : $(1+i)^2=2i$, donc $(1+i)^{10}=(2i)^5=32i^5=32i$.
Avec $-1+i\sqrt{3}=2e^{2i\pi/3}$ : $$\frac{-1+i\sqrt{3}}{1+i}=\frac{2e^{2i\pi/3}}{\sqrt{2}e^{i\pi/4}}=\sqrt{2}\,e^{i(2\pi/3-\pi/4)}=\sqrt{2}\,e^{5i\pi/12}.$$
Le module est strictement positif
Dans $re^{i\theta}$, le réel $r$ doit être strictement positif. L'écriture $-2e^{i\pi/5}$ n'est pas une forme exponentielle. Comme $-1=e^{i\pi}$ :
$$-2e^{i\pi/5}=2e^{i\pi}e^{i\pi/5}=2e^{6i\pi/5}.$$
Son module est $2$ et un argument est $\dfrac{6\pi}{5}$ (ou $-\dfrac{4\pi}{5}$).
Pas de règle pour la somme
Il n'existe aucune formule simple pour le module ou l'argument d'une somme : en général $|z+z'|\neq|z|+|z'|$ et $\arg(z+z')\neq\arg z+\arg z'$. Par exemple $|1+i|=\sqrt{2}$ alors que $|1|+|i|=2$. Pour une somme, on revient à la forme algébrique ou on utilise la méthode de l'angle moitié (section suivante).
S’entraîner
- Calculs en forme algébrique
- Formes exponentielles et puissances
- Une équation de degré 3 et un triangle
- Linéarisation et calcul d'intégrale
- Deux triangles équilatéraux et un losange