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Déterminer module et argument de $z=a+ib$ : méthode (Maths expertes)

Méthode

Déterminer module et argument de $z=a+ib$

On calcule $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
On calcule $\cos\theta=\dfrac{a}{r}$ et $\sin\theta=\dfrac{b}{r}$.
On reconnaît sur le cercle trigonométrique un angle $\theta$ ayant ce cosinus et ce sinus. Le cosinus seul ne suffit pas : $\dfrac{\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$ ont le même cosinus.
On conclut : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.

Astuce : on peut mettre $r$ en facteur, $z=r\left(\dfrac{a}{r}+i\dfrac{b}{r}\right)$, et reconnaître les valeurs remarquables entre parenthèses.

Exemple

Trois formes trigonométriques

$z_1=1+i$ : $r=\sqrt{2}$, $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et $z_1=\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$.
$z_2=-1+i\sqrt{3}$ : $r=\sqrt{1+3}=2$, $\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$, $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ et $z_2=2\left(\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.
$z_3=\sqrt{3}-i$ : $r=2$, $\cos\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta=-\dfrac{1}{2}$, donc $\theta=-\dfrac{\pi}{6}$ et $z_3=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$.

S’entraîner