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Démontrer qu'une fonction est paire, impaire ou périodique : méthode (Terminale spé)

Méthode

Démontrer qu'une fonction est paire, impaire ou périodique

Vérifier que l'ensemble de définition est symétrique par rapport à $0$ (pour la parité) ou stable par $x \mapsto x + T$ (pour la périodicité).
Calculer $f(-x)$ (ou $f(x+T)$) en partant de l'expression de $f$, avec les règles $\cos(-u) = \cos u$, $\sin(-u) = -\sin u$, $\cos(u+2\pi) = \cos u$, $\sin(u+2\pi)=\sin u$.
Comparer avec $f(x)$ et conclure.

Pour $x \mapsto \cos(ax)$ ou $x \mapsto \sin(ax)$ avec $a > 0$, la période est $T = \frac{2\pi}{a}$ : c'est la valeur qui fait apparaître $ax + 2\pi$.

Exemple

Trois fonctions

$f(x) = \sin(3x)$ sur $\mathbb{R}$. Pour tout réel $x$, $f\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) = \sin(3x + 2\pi) = \sin(3x) = f(x)$. Donc $f$ est $\frac{2\pi}{3}$-périodique. De plus $f(-x) = \sin(-3x) = -\sin(3x) = -f(x)$ : $f$ est impaire.
$g(x) = x\sin x$ sur $\mathbb{R}$. $g(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = g(x)$ : $g$ est paire. En revanche $g$ n'est pas périodique : $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$ et $g\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, valeurs toutes différentes.
$h(x) = \cos(2x) + 2\cos x$ sur $\mathbb{R}$. $h(-x) = \cos(-2x) + 2\cos(-x) = h(x)$ : $h$ est paire. $h(x+2\pi) = \cos(2x+4\pi) + 2\cos(x+2\pi) = h(x)$ : $h$ est $2\pi$-périodique. On peut donc l'étudier sur $[0\,;\pi]$ seulement.

Attention

Périodique ne veut pas dire de période 2π

Une fonction construite avec $\cos$ ou $\sin$ n'a pas forcément $2\pi$ pour plus petite période : $\cos(2x)$ est $\pi$-périodique. Elle est aussi $2\pi$-périodique, ce qui suffit souvent pour réduire l'étude ; mais choisir la plus petite période raccourcit le travail.

S’entraîner

Dans le cours

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