Parité et périodicité de sin et cos : énoncé (Terminale spé)

Soit $x$ un réel et $M$ le point du cercle associé à $x$. Le point $M'$ associé à $-x$ s'obtient en parcourant la même longueur d'arc dans le sens inverse : $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à l'axe des abscisses. Il a donc la même abscisse et une ordonnée opposée : $$\cos(-x) = \cos x \quad\text{et}\quad \sin(-x) = -\sin x.$$ Ces égalités valent pour tout réel $x$, et $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ : cosinus est paire, sinus est impaire.

La longueur du cercle trigonométrique est $2\pi$. Les réels $x$ et $x + 2\pi$ sont donc associés au même point $M$, d'où $\cos(x+2\pi) = \cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$ pour tout réel $x$.