Étudier le signe d'une dérivée avec une inéquation trigonométriqueDresser un tableau de variationsAppliquer le théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ la fonction définie sur $[0\,;2\pi]$ par $f(x) = x + 2\cos x$.
- Calculer $f'(x)$.
- Résoudre dans $[0\,;2\pi]$ l'inéquation $\sin x < \frac{1}{2}$. En déduire le signe de $f'(x)$.
- Dresser le tableau de variations de $f$ en donnant les valeurs exactes.
- Déterminer le maximum et le minimum de $f$ sur $[0\,;2\pi]$.
- Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 2$ dans $[0\,;2\pi]$.
Indice 1
$f'(x) > 0 \iff \sin x < \frac{1}{2}$.
Indice 2
Pour comparer des valeurs comme $\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$ et $2$, utiliser des valeurs approchées encadrées.
Indice 3
Pour la question 5, travailler intervalle par intervalle, là où $f$ est strictement monotone.
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