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Résoudre cos(u) = a ou sin(u) = a sur un intervalle : méthode (Terminale spé)

Méthode

Résoudre cos(u) = a ou sin(u) = a sur un intervalle

Vérifier que $-1 \leqslant a \leqslant 1$ ; sinon il n'y a pas de solution.
Trouver un réel $\alpha$ remarquable avec $\cos\alpha = a$ (ou $\sin\alpha = a$), à l'aide du tableau des valeurs remarquables et des angles associés.
Écrire les deux familles de solutions pour l'expression $u$ : $u = \alpha + 2k\pi$ ou $u = -\alpha + 2k\pi$ (cosinus), $u = \alpha + 2k\pi$ ou $u = \pi - \alpha + 2k\pi$ (sinus).
Isoler $x$. Si $u = 2x$, on divise aussi $2k\pi$ par $2$ : on obtient $+k\pi$.
Sélectionner les valeurs de $k$ qui donnent une solution dans l'intervalle imposé, puis contrôler sur le cercle.

Exemple

Exemples d'équations

$\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ dans $]-\pi\,;\pi]$. On a $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Les solutions dans $\mathbb{R}$ sont $\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ et $-\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$. Dans $]-\pi\,;\pi]$ : $S = \left\{-\frac{3\pi}{4}\,;\frac{3\pi}{4}\right\}$.
$\sin x = \frac{1}{2}$ dans $[0\,;2\pi[$. Avec $\alpha = \frac{\pi}{6}$ : $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : $S = \left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\right\}$.
$\cos(2x) = \frac{1}{2}$ dans $[0\,;2\pi[$. $2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, donc $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$. Dans $[0\,;2\pi[$ : première famille $k = 0, 1$ donne $\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$ ; deuxième famille $k = 1, 2$ donne $\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$. $S = \left\{\frac{\pi}{6}\,;\frac{5\pi}{6}\,;\frac{7\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\right\}$.
$\sin x = 2$ : aucune solution car $2 > 1$.

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