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Résoudre une inéquation cos x ≥ a ou sin x ≥ a : méthode (Terminale spé)

Méthode

Résoudre une inéquation cos x ≥ a ou sin x ≥ a

Résoudre d'abord l'équation associée sur l'intervalle imposé.
Placer les solutions sur le cercle et tracer la droite $X = a$ (cosinus) ou $Y = a$ (sinus).
Repérer l'arc du cercle situé du bon côté de la droite : à droite pour $\cos x \geqslant a$, au-dessus pour $\sin x \geqslant a$.
Traduire cet arc en intervalle(s) de l'intervalle imposé, en parcourant le cercle dans le sens direct. On peut contrôler avec le tableau de variations.

Exemple

Deux inéquations

$\cos x \geqslant \frac{1}{2}$ dans $[-\pi\,;\pi]$. L'équation $\cos x = \frac{1}{2}$ a pour solutions $-\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{3}$ dans cet intervalle. Les points d'abscisse au moins $\frac{1}{2}$ forment l'arc de droite, qui contient le point associé à $0$. $S = \left[-\frac{\pi}{3}\,;\frac{\pi}{3}\right]$.
$\sin x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ dans $[0\,;2\pi[$. On a $\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, donc les solutions de l'équation dans $[0\,;2\pi[$ sont $-\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$ et $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. L'arc sous la droite $Y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ contient le point associé à $\frac{3\pi}{2}$. $S = \left]\frac{4\pi}{3}\,;\frac{5\pi}{3}\right[$ (bornes exclues car l'inégalité est stricte).

Remarque

Valeurs non remarquables

Si $a$ n'est pas une valeur remarquable, par exemple $\cos x = 0{,}3$, on ne sait pas écrire $\alpha$ exactement. On peut justifier l'existence et l'unicité d'une solution sur $[0\,;\pi]$ par le théorème des valeurs intermédiaires (cosinus est continue et strictement décroissante de $1$ à $-1$), puis donner une valeur approchée à la calculatrice : $\alpha \approx 1{,}266$. La notation $\arccos$ est hors programme au lycée.

S’entraîner

Dans le cours

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