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Équation sin x = a : énoncé (Terminale spé)

Propriété

Équation sin x = a

Soit $a$ un réel.

Si $a < -1$ ou $a > 1$, l'équation $\sin x = a$ n'a aucune solution.
Si $-1 \leqslant a \leqslant 1$, il existe un réel $\alpha$ tel que $\sin\alpha = a$, et : $$\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \text{ ou } \ x = \pi - \alpha + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Sur le cercle : la droite horizontale d'équation $Y = a$ coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Démonstration : Équation sin x = a

Démonstration

Justification sur le cercle

Pour $\cos x = \cos\alpha$ : les points du cercle d'abscisse $\cos\alpha$ sont le point $M$ associé à $\alpha$ et son symétrique $M'$ par rapport à l'axe des abscisses, associé à $-\alpha$. Les réels associés à $M$ sont les $\alpha + 2k\pi$, ceux associés à $M'$ les $-\alpha + 2k\pi$.

Pour $\sin x = \sin\alpha$ : les points d'ordonnée $\sin\alpha$ sont $M$ et son symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, associé à $\pi - \alpha$ (car $\sin(\pi-\alpha) = \sin\alpha$ et $\cos(\pi-\alpha) = -\cos\alpha$). D'où les deux familles de solutions.

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Dans le cours

Fonctions sinus et cosinus : Équation sin x = a