Limite finie en un réel : définition (Terminale spé)
Limite finie en un réel
On dit que $f$ a pour limite le réel $\ell$ en $a$ si les valeurs $f(x)$ sont aussi proches de $\ell$ que l'on veut dès que $x$ est suffisamment proche de $a$. On note $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.
Fonctions usuelles en un point de leur ensemble de définition
Si $a$ appartient à l'ensemble de définition d'une fonction construite à partir des fonctions de référence (polynômes, quotients, racine carrée, exponentielle), alors $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Cette propriété traduit la continuité, étudiée dans un autre chapitre. Par exemple $\lim_{x\to 1}(x^2+3x)=4$.
Le calcul d'une limite en un réel n'est donc vraiment intéressant qu'aux valeurs interdites et aux bornes ouvertes de l'ensemble de définition.
Deux asymptotes pour une même courbe
Soit $f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$.
En 2. On a $\lim_{x\to2}(3x-1)=5$. Pour $x>2$, $x-2>0$, donc $\lim_{x\to2^+}(x-2)=0^+$ et, par quotient, $\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$. Pour $x<2$, $x-2<0$, donc $\lim_{x\to2^-}(x-2)=0^-$ et $\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$. La droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.
En $+\infty$. Pour $x\neq0$ et $x\neq2$ : $$f(x)=\frac{x\left(3-\frac1x\right)}{x\left(1-\frac2x\right)}=\frac{3-\frac1x}{1-\frac2x}.$$ Comme $\lim_{x\to+\infty}\frac1x=0$, on obtient $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\dfrac31=3$. Même calcul en $-\infty$. La droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.
Position. $f(x)-3=\dfrac{3x-1-3(x-2)}{x-2}=\dfrac{5}{x-2}$ : la courbe est au-dessus de l'asymptote pour $x>2$ et en dessous pour $x<2$.
S’entraîner
- Asymptotes d'une fonction homographique
- Limites de fonctions composées
- Formes 0/0 en un réel
- Trois asymptotes pour une fonction rationnelle
- Une fonction plate en 0