Limite d'un quotient dont le dénominateur tend vers 0 : méthode (Terminale spé)

Pour calculer $\lim_{x\to a}\dfrac{u(x)}{v(x)}$ lorsque $\lim_{x\to a}v(x)=0$ et $\lim_{x\to a}u(x)=\ell\neq0$ :

1. On calcule la limite $\ell$ du numérateur et on note son signe.
2. On étudie le signe de $v(x)$ à gauche et à droite de $a$ (tableau de signes si besoin).
3. On applique la règle des signes : par exemple $\dfrac{\ell}{0^+}$ avec $\ell>0$ donne $+\infty$.

Exemple. $h(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}$ en $2$. Le numérateur tend vers $3>0$. On a $x^2-4=(x-2)(x+2)$ :

Donc $\lim_{x\to2^+}(x^2-4)=0^+$ et $\lim_{x\to2^-}(x^2-4)=0^-$, d'où $\lim_{x\to2^+}h(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to2^-}h(x)=-\infty$.

Si le numérateur tend aussi vers $0$, on est face à une forme indéterminée : il faut d'abord transformer l'expression.