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Limite infinie en l'infini : définition (Terminale spé)
Définition
Limite infinie en l'infini
Soit $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $[b;+\infty[$.
- On dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$, l'intervalle $]A;+\infty[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand. On note $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
- On dit que $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$, l'intervalle $]-\infty;A[$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez grand.
On définit de la même façon les limites infinies en $-\infty$.
Remarque
Unicité et absence de limite
Lorsqu'une limite existe, elle est unique (résultat admis).
Une fonction peut ne pas avoir de limite en $+\infty$ : c'est le cas de $x\mapsto\sin x$ ou de $x\mapsto\cos x$, dont les valeurs oscillent sans fin entre $-1$ et $1$.
S’entraîner
- Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini
- Asymptotes d'une fonction homographique
- Limites de fonctions composées
- Formes 0/0 en un réel
- Trois asymptotes pour une fonction rationnelle