Limites des fonctions de référence en l'infini : énoncé (Terminale spé)
Limites des fonctions de référence en l'infini
Pour $n$ entier naturel non nul :
| Fonction | Limite en $-\infty$ | Limite en $+\infty$ |
|---|---|---|
| $x^n$, $n$ pair | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $x^n$, $n$ impair | $-\infty$ | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{x^n}$ | $0$ | $0$ |
| $\sqrt{x}$ | non définie | $+\infty$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | non définie | $0$ |
| $e^x$ | $0$ | $+\infty$ |
Les limites de l'exponentielle sont démontrées dans la section sur la comparaison. En particulier, l'axe des abscisses (droite $y=0$) est asymptote horizontale à la courbe de $x\mapsto\dfrac1x$ en $-\infty$ et en $+\infty$, et à la courbe de l'exponentielle en $-\infty$.
Une asymptote horizontale et la position de la courbe
Soit $f(x)=2+\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$.
On a $\lim_{x\to+\infty}\dfrac1x=0$, donc $\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$. La droite $\Delta$ d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
Position : $f(x)-2=\dfrac1x$, qui est strictement positif pour $x>0$. La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de $\Delta$ sur $]0;+\infty[$.
S’entraîner
- Polynômes et fonctions rationnelles en l'infini
- Asymptotes d'une fonction homographique
- Limites de fonctions composées
- Croissances comparées : reconnaître les situations
- Premières comparaisons avec sinus et cosinus
Dans le cours
Limites de fonctions : Limites des fonctions de référence en l'infini