Déterminer les limites suivantes en $+\infty$.
a) $\dfrac{e^{\sqrt x}}{x}$
b) $x^2e^{-\sqrt x}$
c) $e^x-e^{\sqrt x}$
d) $e^{\sqrt x}-x$
Poser $X=\sqrt x$ : alors $x=X^2$ et $X\to+\infty$.
Pour c), factoriser par $e^x$ et utiliser le résultat du cours $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt x-x)=-\infty$.
Pour d), factoriser par $x$ et réutiliser a).
a) Forme $\frac\infty\infty$. On pose $X=\sqrt x$ ; pour $x>0$, $x=X^2$ et $\dfrac{e^{\sqrt x}}{x}=\dfrac{e^X}{X^2}$. Quand $x\to+\infty$, $X\to+\infty$, et par croissances comparées $\dfrac{e^X}{X^2}\to+\infty$. Par composition, la limite est $+\infty$.
b) Forme $\infty\times0$. Avec $X=\sqrt x$ : $x^2e^{-\sqrt x}=X^4e^{-X}$, qui tend vers $0$ par croissances comparées quand $X\to+\infty$. Par composition, la limite est $0$.
c) Forme $\infty-\infty$. Pour $x\geq0$ : $$e^x-e^{\sqrt x}=e^x\left(1-\frac{e^{\sqrt x}}{e^x}\right)=e^x\left(1-e^{\sqrt x-x}\right).$$ On a $\sqrt x-x=\sqrt x(1-\sqrt x)\to-\infty$ (produit de $+\infty$ par $-\infty$). On pose $Y=\sqrt x-x$ : $\lim_{Y\to-\infty}e^Y=0$, donc par composition $e^{\sqrt x-x}\to0$. La parenthèse tend vers $1$ et $e^x\to+\infty$ : la limite est $+\infty$.
d) Forme $\infty-\infty$. Pour $x>0$ : $e^{\sqrt x}-x=x\left(\dfrac{e^{\sqrt x}}{x}-1\right)$. D'après a), la parenthèse tend vers $+\infty$ ; avec $x\to+\infty$, par produit la limite est $+\infty$.
a) $+\infty$ ; b) $0$ ; c) $+\infty$ ; d) $+\infty$